Question

（09年宣武區二模文）（13分）

如圖，在棱長為1的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD的中點。

   （1）求證：D₁E⊥平面AB₁F；

   （2）求二面角C₁―EF―A的余弦值。

Answer 1

解析：解法1：（1）連結A₁B，則D₁E在側面ABB₁A₁上的射影是A₁B，

又∵A₁B⊥AB₁，

∴D₁E⊥AB₁，

連結DE，

∵D₁E在底面ABCD上的射影是DE，E、F均為中點，

∴DE⊥AF，

∴D₁E⊥AF

∵AB₁∩AF=A

∴D₁E⊥平面AB₁F   …………………6分

   （2）∵C₁C⊥平面EFA，連結AC交EF于H，

則AH⊥EF，

連結C₁H，則C₁H在底面ABCD上的射影是CH，

∴C₁H⊥EF，

∴∠C₁HA為二在角C₁―EF―A的平面角，它是∠C₁HC的鄰補角。

解法2：（1）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。

   （2）由已知得為平面EFA的一個法向量，

∵二面角C₁―EF―A的平面角為鈍角，

∴二面角C₁―EF―A的余弦值為   ………………13分