Question

（本小題滿分14分）

已知數列{x_n}的各項為不等于1的正數，其前n項和為S_n，點P_n的坐標為（x_n,S_n），若所有這樣的點P_n (n=1,2，…)都在斜率為k的同一直線(常數k≠0,1)上.

   （Ⅰ）求證：數列{x_n}是等比數列；

   （Ⅱ）設滿足

y_s=,y_t=（s,t∈N，且s≠t）共中a為常數，且1<a<,試判斷，是否存在自然數M，使當n>M時，x_n>1恒成立？若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由.

Answer 1

證明（1）∵點，都在斜率為k的直線上

∴=k，即=k，………………………………………(1分)

故  (k－1)x_n+1=kx_n

∵k≠0,x_n+1≠1,x_n≠1，………………………………………(3分)

∴==常數，∴{x_n}是公比為的等比數列�！�…………………………(4分)

   （2）答案是肯定的，即存在自然數M，使當n>M時，x_n>1恒成立�！�……………(5分)

事實上，由1<a<，得0<2a²－3a+1<1 …………………………………(6分)

∵y_n=log (2a²－3a+1)，

∴= logx_n ………………………………………(8分)

由（1）得{x_n}是等比數列，設公比為q>0首項為x₁，則x_n=x₁·q^n－1(n∈N)

∴=(n－1) logq+logx₁

令d=logq，故得{}是以d為公差的等差數列。

又∵=2t+1, =2s+1，

∴－=2(t－s)

即(s－1)d－(t－1)d=2(t－s)，

∴d=－2………………………………………(10分)

故=+（n－s）(－2)=2（t+s）－2n+1（n∈N）

又∵x_n=(2a²－3a+1)  （n∈N）

∴要使x_n>1恒成立，即須<0………………………………………(12分)

∴2(t+s)－2n+1<0，∴n>(t+s)+，當M=t+s，n>M時，我們有<0恒成立，

∴當n>M=(t+s)時，>1恒成立。（∵0<2a²－3a+1<1）…………………(14分)