Question

設函數f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n為正整數，a，b為常數，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y=1
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的最大值．

Answer 1

分析：由f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，再由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=1，可得f'（1）=-1，f（1）=0，則f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，由此能求出函數f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=-axⁿ（x-1）+b=axⁿ-axⁿ⁺¹+b，
∴f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，
由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=1，
可得f'（1）=-1，f（1）=0，
∴a=1，b=0．
（2）由（1）可知f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，
故f′（x）=-（n+1）xn（x-

n

n+1

），令f'（x）=0，得x=

n

n+1

當x∈（0，

n

n+1

），f′（x）＞0，當x∈（

n

n+1

，+∞），f′（x）＜0，
故函數f（x）在（0，

n

n+1

）上單調遞增；在（

n

n+1

，+∞）上單調遞減，
∴f（x）在（0，+∞）上最大值為f（

n

n+1

）=(

n

n+1

)n(1-

n

n+1

)=

nn

(n+1)n+1

點評：本題考查函數的最大值的求法，正確求出解析式進而求對導函數得出函數的單調性是解決問題的關鍵，屬中檔題．