Question

【題目】設數列的前項和，對任意，都有（為常數）.

（1）當時，求；

（2）當時，

（ⅰ）求證：數列是等差數列；

（ⅱ）若數列為遞增數列且，設，試問是否存在正整數（其中），使成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數組；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析（ⅱ）存在唯一正整數數對，使成等比數列

【解析】

（1）當時，利用公式計算得到，再計算得到.

（2）（ⅰ）化簡得到，得到，化簡得到

得到答案.

（2）（ⅱ）計算，假設存在正整數數組，則當，且時，，故數列為遞減數列，為方程的一組解，得到答案.

（1）時，①

時，②

由②－①得即

時，，∴

（常數，），∴以1為首項，4為公比的等比數列

∴

（2）（ⅰ）當，，時，.③

當時，.④

③－④得：，⑤

所以.⑥

⑤－⑥得：.

因為，所以，即，

所以是等差數列.

（ⅱ）因為為遞增等差數列.，又

得或者（舍），所以

假設存在正整數數組，使成等比數列，則成等差數列，

于是，

所以，（☆）

易知為方程（☆）的一組解.

當，且時，，故數列為遞減數列，

于是，所以此時方程（☆）無正整數解.

綜上，存在唯一正整數數對，使成等比數列.