Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，P為DN的中點．
 
(1)求證：BD⊥MC；
(2)線段AB上是否存在點E，使得AP∥平面NEC？若存在，說明在什么位置，并加以證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）E為AB的中點時，有AP∥平面NEC

(1)證明：聯結AC，因為四邊形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
又四邊形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD＝AD，AM⊥AD，所以AM⊥平面ABCD.
因為BD平面ABCD，所以AM⊥BD.
因為AC∩AM＝A，所以BD⊥平面MAC.
又MC平面MAC，所以BD⊥MC.
(2)當E為AB的中點時，有AP∥平面NEC.
取NC的中點S，聯結PS，SE.

因為PS∥DC∥AE，PS＝AE＝DC，
所以四邊形APSE是平行四邊形，所以AP∥SE.
又SE?平面NEC，AP?平面NEC，所以AP∥平面NEC.