Question

【題目】如圖，等腰梯形中,,為的三等分點，以為折痕把△折起，使點 到達點的位置，且與平面所成角的正切值為．

（1）證明:平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據折疊前后關系可得再根據線面垂直判定定理可得，最后根據面面垂直判定定理得結果，（2）作，垂足為O，則易得平面，過O作，交于G.以O為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解得各面法向量，利用向量數量積解得法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果.

（1）證明：依題意得，

所以，

因為，所以平面平面．

（2）假設，由（1）過P作，垂足為O，則平面，

過O作，交于G.

以O為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，

則

設平面的法向量為，

則 即

令，得為平面的一個法向量.

同理可得平面的一個法向量為，

，

所以二面角的余弦值為．