Question

關于函數f(x)=sinx(cosx-sinx)+

1

2

，給出下列三個命題：
（1）函數f（x）在區間[

π

2

，

5π

8

]上是減函數；
（2）直線x=

π

8

是函數f（x）的圖象的一條對稱軸；
（3）函數f（x）的圖象可以由函數y=

2

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

而得到．
其中正確的命題序號是

 

．（將你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：先把函數式利用倍角公式和兩角和公式化簡整理，進而根據正弦函數的額單調性、對稱性和圖象平移法則，對三個命題進行驗證．

解答：解：f(x)=sinx(cosx-sinx)+

1

2

=sinxcosx-sin²x+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）
∴函數f（x）的圖象可以由函數y=

2

2

sin2x的圖象向左平移

π

8

而得到．命題（3）錯誤．
根據正弦函數的單調性可知當2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

1π

8

≤x≤kπ+

5π

8

時，函數單調減，∴命題（1）正確．
根據正弦函數的對稱性可知，2x+

π

4

=kπ+

π

2

，即x=

kπ

2

+

1π

8

是函數的對稱軸，∴命題（2）正確．
故答案為（1），（2）

點評：本題主要考查了正弦函數的性質，涉及單調性，對稱性和圖象的平移，內容多且復雜，故平時應注意多積累．