Question

（本小題滿分14分）

在數列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=3，a_n+2= 3a_n+1- 2a_n.

(Ⅰ)證明數列{ a_n+1- a_n}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；

(Ⅱ)設b_n=，{b_n}的前n項和為S_n，求證.

Answer 1

解：解：(Ⅰ)由a_n+2= 3a_n+1- 2a_n得a_n+2- a_n+1= 2(a_n+1- a_n)，a₂-a₁=2，

所以，{ a_n+1- a_n}是首項為2，公比為2的等比數列. …………………3分

a_n+1- a_n=2×2^n-1=2ⁿ，………………………………………………………4分

a_n=a₁+(a₂-a₁)+ (a₃-a₂)+…+(a_n- a_n-1)=1+2+2²+…+2^n-1==2ⁿ-1；…7分

(Ⅱ)b_n==log₂2ⁿ=n，………………………………………………8分

  S_n=，………………………………………………………………9分

  ，

  所以

                            =2<2. ………………………14分