Question

【題目】設函數 ．
（1）當a=b=2時，證明：函數f（x）不是奇函數；
（2）設函數f（x）是奇函數，求a與b的值；
（3）在（2）條件下，判斷并證明函數f（x）的單調性，并求不等式 的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=b=2時， ，

∵ ，f（1）=0，

∴f（﹣1）≠﹣f（1），

∴函數f（x）不是奇函數

（2）解：由函數f（x）是奇函數，得f（﹣x）=﹣f（x），

即 對定義域內任意實數x都成立，

整理得（2a﹣b）22x+（2ab﹣4）2x+（2a﹣b）=0對定義域內任意實數x都成立，

∴ ，

解得 或

經檢驗 符合題意

（3）解：由（2）可知

易判斷f（x）為R上的減函數，

證明：∵2x+1在定義域R上單調遞增且2x+1＞0，

∴ 在定義域R上單調遞減，且 ＞0，

∴ 在R上單調遞減．

由 ，不等式 ，

等價為f（x）＞f（1），

由f（x）在R上的減函數可得x＜1．

另解：由 得，即 ，

解得2x＜2，∴x＜1．

即不等式的解集為（﹣∞，1）

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義進行判斷函數f（x）不是奇函數；（2）根據奇函數的性質建立方程即可求a與b的值；（3）根據函數單調性的定義或性質證明函數f（x）的單調性，并利用單調性的性質解不等式 ．
【考點精析】利用函數單調性的性質和函數的奇偶性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．