Question

（2013•牡丹江一模）已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程；
（Ⅲ）設函數g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函數g（x）在區間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數的底數）

Answer 1

分析：（I）先對函數求導，研究函數的單調區間，根據F′（x）＞0求得的區間是單調增區間，F′（x）＜0求得的區間是單調減區間，求出極值．
（II）求出曲線方程的導函數，利用導函數中即可求出切線方程的斜率，根據求出的斜率和已知點的坐標寫出切線方程即可；
（III）求導：g'（x）=lnx+1-a解g'（x）=0，得x=e^a-1，得出在區間（0，e^a-1）上，g（x）為遞減函數，在區間（e^a-1，+∞）上，g（x）為遞增函數，下面對a進行討論：當e^a-1≤1，當1＜e^a-1＜e，當e^a-1≥e，從而得出g（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）
由f'（x）=0得x=

1

e

，…（3分）
所以，f（x）在區間(0，

1

e

)上單調遞減，在區間(

1

e

，+∞)上單調遞增．…（4分）
所以，x=

1

e

是函數f（x）的極小值點，極大值點不存在．…（5分）
（Ⅱ）設切點坐標為（x₀，y₀），則y₀=x₀lnx₀，…（6分）
切線的斜率為lnx₀+1，
所以，lnx0+1=

y0+1

x0

，…（7分）
解得x₀=1，y₀=0，…（8分）
所以直線l的方程為x-y-1=0．…（9分）
（Ⅲ）g（x）=xlnx-a（x-1），
則g'（x）=lnx+1-a，…（10分）
解g'（x）=0，得x=e^a-1，
所以，在區間（0，e^a-1）上，g（x）為遞減函數，
在區間（e^a-1，+∞）上，g（x）為遞增函數．…（11分）
當e^a-1≤1，即a≤1時，在區間[1，e]上，g（x）為遞增函數，
所以g（x）最小值為g（1）=0．…（12分）
當1＜e^a-1＜e，即1＜a＜2時，g（x）的最小值為g（e^a-1）=a-e^a-1．…（13分）
當e^a-1≥e，即a≥2時，在區間[1，e]上，g（x）為遞減函數，
所以g（x）最小值為g（e）=a+e-ae．…（14分）
綜上，當a≤1時，g（x）最小值為0；當1＜a＜2時，g（x）的最小值a-e^a-1；當a≥2時，g（x）的最小值為a+e-ae．

點評：本題考查了導數的應用：利用導數判斷函數的單調性及求單調區間；函數在區間上的最值的求解，其一般步驟是：先求極值，比較函數在區間內所有極值與端點函數．若函數在區間上有唯一的極大（小）值，則該極值就是相應的最大（小）值．