Question

在平面幾何里，已知直角三角形ABC中，角C為90°，AC=b，BC=a，運用類比方法探求空間中三棱錐的有關結論：
有三角形的勾股定理，給出空間中三棱錐的有關結論：

在三棱錐O-ABC中，若三個側面兩兩垂直，則

S

2 △OAB

+

S

2 △OAC

+

S

2 △OBC

=

S

2 △ABC

若三角形ABC的外接圓的半徑為r=

a2+b2

2

，給出空間中三棱錐的有關結論：

在三棱錐O-ABC中，若三個側面兩兩垂直，且三條側棱長分別為a，b，c，則其外接球的半徑為r=

a2+b2+c2

2

．

Answer 1

分析：（1）這是一個類比推理的題，斜邊的平方等于兩個直角邊的平方和，可類比到空間就是斜面面積的平方等于三個直角面的面積的平方和，邊對應著面．
（2）在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質類比推理到線的性質，由線的性質類比推理到面的性質，由已知在平面幾何中在△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，則△ABC的外接圓的半徑r=

a2+b2

2

，我們可以類比這一性質，推理出在空間中有三條側棱兩兩垂直的四面體O-ABC中類似的結論．

解答：解：（1）由邊對應著面，邊長對應著面積，
由類比可得：在三棱錐O-ABC中，若三個側面兩兩垂直，則

S

2 △OAB

+

S

2 △OAC

+

S

2 △OBC

=

S

2 △ABC

（2）由平面圖形的性質類比推理空間圖形的性質時，
一般是由點的性質類比推理到線的性質，由線的性質類比推理到面的性質，由圓的性質推理到球的性質．
由已知在平面幾何中，△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，則△ABC的外接圓的半徑r=

a2+b2

2

，
我們可以類比這一性質，推理出：在三棱錐O-ABC中，若三個側面兩兩垂直，且三條側棱長分別為a，b，c，則其外接球的半徑為r=

a2+b2+c2

2

，
故答案為：在三棱錐O-ABC中，若三個側面兩兩垂直，則

S

2 △OAB

+

S

2 △OAC

+

S

2 △OBC

=

S

2 △ABC

；
在三棱錐O-ABC中，若三個側面兩兩垂直，且三條側棱長分別為a，b，c，則其外接球的半徑為r=

a2+b2+c2

2

．

點評：本題主要考查學生知識的遷移類比等基本能力，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．