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如圖，已知橢圓

分別為其左右焦點，A為左頂點，直線l的方程為x=4，過F₂的直線l′與橢圓交于異于A的P、Q兩點．
（Ⅰ）求

的取值范圍；
（Ⅱ）若

求證：M、N兩點的縱坐標之積為定值；并求出該定值．

解：（Ⅰ）①當直線PQ的斜率不存在時，
由F₂(1,0)可知PQ方程為

代入橢圓

得

又

∴

，

②當直線PQ的斜率存在時，
設PQ方程為

代入橢圓

得

∴

綜上,

的取值范圍是

（Ⅱ）AP的方程為

得

同理,得

∴

1°當k不存在時,

=-9
2°當k存在時,

=-9
∴M,N兩點的縱坐標之積為定值-9

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓

=1(a＞b＞0)過點．(1，

)，離心率為

，左、右焦點分別為F₁、F₂．點p為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線PF₁、PF₂的斜線分別為k₁、k₂．①證明：

=2；②問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD滿足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C過點M（2，1），兩個焦點分別為(-

，0)、(

，0)，O為坐標原點，平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）試問直線MA、MB的斜率之和是否為定值，若為定值，求出以線段AB為直徑且過點M的圓的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：2013屆河北省高二上學期期末考試理科數學 題型：解答題

(本題滿分12分)如圖，已知橢圓焦點為，雙曲線，設是雙曲線上異于頂點的任一點，直線與橢圓的交點分別為和。

（1）設直線的斜率分別為和，求的值；

（2）是否存在常數，使得恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河北省衡水中學高二（上）期末數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓

焦點為F₁、F₂，雙曲線G：x²-y²=4，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF₁、PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（1）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁和k₂，求k₁•k₂的值；
（2）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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