Question

某射手進行射擊練習，每次射出一發子彈，每射擊5發算一組，一旦命中就停止，并進入下一組練習，否則一直打完5發子彈才能進入下一組練習．已知他每射擊一次的命中率為0.8，且每次射擊命中與否互不影響．
（I）求一組練習中所耗用子彈數ξ的分布列，并求ξ的數學期望；
（II）求在完成連續兩組練習后，恰好共耗用了4發子彈的概率．

Answer 1

解：（I） 由題意，一組練習中所耗用子彈數ξ 的取值為1，2，3，4，5
P（ξ=1）=0.8，P（ξ=2）=0.2×0.8=0.16，P（ξ=3）=0.2²×0.8=0.032，P（ξ=4）=0.2³×0.8=0.0064，P（ξ=5）=0.2⁴×0.8=0.00128
∴Eξ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.0064+5×0.00128=1.248；
（II）完成連續兩組練習共耗用4發子彈，共有如下幾種情況：第一組練習用了1發而第二組練習用3發；第一組練習用2發，第二組用2發；第一組練習用3發，第二組練習用1發．由于每次射擊命中與否不影響，故所求概率P為
P=P（ξ=1）P（ξ=3）+P（ξ=2）P（ξ=2）+P（ξ=3）P（ξ=1）
0.8×0.2²×0.8+0.2×0.8×0.2×0.8+0.2²×0.8×0.8
×0.032+0.16×0.16+0.032×0.8=0.0768
分析：（I） 先確定一組練習中所耗用子彈數ξ 的取值，進而可得一組練習中所耗用子彈數ξ的分布列，從而可求ξ的數學期望；
（II）完成連續兩組練習共耗用4發子彈，共有如下幾種情況：第一組練習用了1發而第二組練習用3發；第一組練習用2發，第二組用2發；第一組練習用3發，第二組練習用1發．由于每次射擊命中與否不影響，從而可求概率．
點評：本題以實際問題為載體，考查離散型隨機變量的數學期望，考查概率，關鍵是確定一組練習中所耗用子彈數ξ 的取值．