Question

（2010•青浦區二模）已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為菱形的直四棱柱，P是棱DD₁的中點，∠BAD=60°，底面邊長為2，四棱柱的體積為8

3

，求異面直線AD₁與PB所成的角大�。�（結果用反三角函數值表示）

Answer 1

分析：通過體積求出幾何體的高，取AD的中點為E，連接PE，PB，說明∠EPB為直線PB與直線AD₁所成的角，然后解三角形求出sin∠EPB，異面直線AD₁與PB所成的角大小．

解答：解：由體積為8

3

，得h×2×2sin60°=8

3

，所以h=4（3分）
則BE⊥ADD₁A₁，（5分）
AD₁∥PE，∠EPB為直線PB與直線AD₁所成的角．（8分）
經計算BE=

3

，PB=2

2

，（10分）
sin∠EPB=

3

2 2

=

6

4

，
即異面直線AD1與PB所成的角為arcsin

6

4

（或arctan

15

5

）．（12分）

點評：本題考查異面直線及其所成的角，考查計算能力，邏輯思維能力，是基礎題．