Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA=AB=AD=a，PB=PD=

2

a，點E為PB的中點，點F為PC的中點．
（Ⅰ）求證：PD∥面EAC；
（Ⅱ）求證：面PBD⊥面PAC；
（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點H滿足FH∥面EAC？若存在，請指出點H的具體位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設AC，BD相交于O，連接OE，由平行四邊形的性質及三角形中位線定理，我們易得PD∥OE，再由線面平行的判定定理即可得到答案．
（II）由已知中PA=AB=AD=a，PB=PD=

2

a，我們根據勾股定理，可得PA⊥AD，PA⊥AD，由線面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABCD，進而可得PA⊥BD，再由菱形的對角線互相垂直，即BD⊥AC，結合線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（III）取OD的中點H，根據已知我們可根據平行線分線段成比例定理得到OG∥FH，進而根據線面平行的判定定理，得到FH∥面EAC，進而得到結論．

解答：解：（Ⅰ） 設AC，BD相交于O，連接OE，
∵O分別為PB，PD的中點，
∴PD∥OE∴PD∥面EAC…（4分）
（Ⅱ）∵PA=AB=a，PB=

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a∴PA⊥AB，同理PA⊥AD
∴PA⊥面ABCD…（6分）
∴PA⊥BD，
∵ABCD為菱形
∴BD⊥AC
∴BD⊥面PAC
∴面PBD⊥面PAC…（8分）
（Ⅲ）取OD的中點H
∴

BG

GF

=

BO

OH

=2∴OG∥FH
∴FH∥面EAC
∴在線段BD上存在一點H滿足FH∥面EAC，H為OD的中點．…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間中平面與直線的平行、垂直的判定定理，性質定理，定義，幾何特征是解答此類問題的關鍵．