Question

已知函數f(x)=2(ln

1+x

+

1

2

x2)-ax，其中a為常數．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：D

n

k=2

k-1

k2

＜ln

n+1

2

．

Answer 1

分析：（1）根據題意，由函數f（x）在（0，1）上單調遞增，可得f′（x）=2x-a+

1

x+1

≥0在（0，1）上恒成立，進而轉化為2x+

1

x+1

≥a在（0，1）上恒成立，令t=2x+

1

x+1

，通過對t求導判斷單調性，可得t的最小值為1，由不等關系可得答案．
（2）由（1）的結論，分析可得f（x）＞f（0），化簡可得ln（x+1）＞x-x²，令x=

1

n

，（n≥2），可得ln（

1

n

+1）＞

1

n

-

1

n2

，變形可得ln

n+1

n

＞

n-1

n2

，所以

n

k=2

k-1

k2

=

1

22

+

2

32

+…+

n-1

n2

＜ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

，由對數的運算性質，化簡可得證明．

解答：解：（1）根據題意，函數f(x)=2(ln

1+x

+

1

2

x2)-ax在（0，1）上單調遞增，
則f′（x）=2x-a+

1

x+1

≥0在（0，1）上恒成立；
即2x+

1

x+1

≥a在（0，1）上恒成立，
令t=2x+

1

x+1

，則t′=1+（

1

x+1

）′=1-

1

(x+1)2

，
又由x∈（0，1），則t′＞0，
則t在（0，1）是增函數，
故有2x+

1

x+1

＞1，
所以求得a≤1，
（2）證明：由（1）可得，當a=1時，f（x）在（0，1）上遞增，
所以f（x）＞f（0），即ln（x+1）＞x-x²，
令x=

1

n

，（n≥2）則

1

n

∈（0，

1

2

]⊆（0，1），
所以有ln（

1

n

+1）＞

1

n

-

1

n2

，變形可得ln

n+1

n

＞

n-1

n2

，
所以

n

k=2

k-1

k2

=

1

22

+

2

32

+…+

n-1

n2

＜ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln

n+1

2

；
即原不等式得證．

點評：本題考查不等式的證明與利用導數求函數的最值；（1）中注意x的范圍是（0，1），因（x+1）的范圍，不能將2x+

1

x+1

轉化為2（x+1）+

1

x+1

-2后，直接用基本不等式求其最小值．