Question

【題目】已知橢圓與拋物線共焦點，拋物線上的點M到y軸的距離等于，且橢圓與拋物線的交點Q滿足．

（I）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（II）過拋物線上的點作拋物線的切線交橢圓于、 兩點，設線段AB的中點為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）將拋物線上的點到軸的距離等于和拋物線的定義相結合，可得，可得拋物線的方程，已知在橢圓中的值，由可得點Q的坐標，結合橢圓的定義可得橢圓的方程；（2）聯立直線與拋物線的方程，結合其有一個交點可得關系式，聯立直線與橢圓的方程根據橢圓與直線有2個交點即，得到關于不等式，解不等式可得的取值范圍，由中點坐標公式及韋達定理可得，從而可得其范圍.

試題解析：（1）∵拋物線上的點到軸的距離等于，

∴點M到直線的距離等于點到焦點的距離，

得是拋物線的準線，即，

解得，∴拋物線的方程為；

可知橢圓的右焦點，左焦點，

由得，又，解得，

由橢圓的定義得，

∴，又，得，

∴橢圓的方程為．

（2）顯然， ，

由，消去，得，

由題意知，得，

由，消去，得，

其中，

化簡得，

又，得，解得，

設，則<0，

由，得，∴的取值范圍是．