Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax，g(x)=f′(x)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，其中實(shí)數(shù)a是不等1的常數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞1，若函數(shù)f（x）有三個零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）若a＞-1，求函數(shù)|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值M（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）a=0時，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號即可求得結(jié)果；（2）求得，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，求出函數(shù)的極大值和極小值，要使函數(shù)f（x）有三個零點(diǎn)，因此得到函數(shù)的極大值大于零，極小值小于零，解此不等式組即可求得結(jié)論；（3）分類討論，根據(jù)函數(shù)|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)單調(diào)性即可求得其的最大值．

解答：（1）f′（x）=x（x-1），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）及（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減；
（2）f′（x）=（x-a）（x-1），
由f（1）=

1

2

a-

1

6

＞0，f（a）=-

1

6

a3+

1

2

a2＜0，
解得a＞3；
（3）①當(dāng)a＞1時，|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值是g（-1）=2a+2
②當(dāng)-1＜a＜1時，0＜

a+1

2

＜1，|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值是
max{g（-1），|g（

a+1

2

）|}=max{2a+2，

(a-1)2

4

}
解不等式2a+2-

(a-1)2

4

＞0，得5-4

2

＜a＜5+4

2

∴當(dāng)-1＜a＜5-4

2

時，|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值是

(a-1)2

4

，
當(dāng)5-4

2

≤a＜1時，|g（x）|在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值是2a+2．
綜上M（a）=

(a-1)2 4 ，-1＜a＜5-42 2a+2      ，5-42≤a＜1

．

點(diǎn)評：掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題，考查了計算能力和分析解決問題的能力，體現(xiàn)了分類討論的思想，是難題．