Question

已知橢圓的離心率為=,橢圓上的點到兩焦點的距離之和為12,點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點．點在橢圓上，且位于軸的上方，．
(I) 求橢圓的方程；
(II)求點的坐標；
(III)  設是橢圓長軸AB上的一點，到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點的距離的最小值．

Answer 1

解：（I）         （II）點P的坐標是()    （III）當x=時，d取得最小值. 

本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及點的坐標的求解和圓錐曲線上點到點的距離的最值問題的求解的綜合運用。
（1）因為橢圓上的點到兩焦點的距離之和為12，
∴     并且由離心率 =，∴   
結合a,b,c關系，∴橢圓的方程為                                
（2）由(1)可得點A(-6，0)，B（6，0），F(0，4)                        
設點P(x，y)，則=(x+6，y)，=(x-4，y)，由已知可得聯立方程組得到關于x的一元二次方程， 則 2x²+9x-18=0，x=或x=-6．由于y>0，只能x=，于是y=     
從而得到點P的坐標。      
（3）直線AP的方程是x-+6=0                                    
設點M的坐標為(m，0)，則M到直線AP的距離是 ．
∴= |m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．                           
∴M點的坐標為（2，0）                                            
設橢圓上的點(x，y)到點M的距離為d，則利用兩點的距離公式可以解得最值