Question

已知命題P：x₁、x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數m∈[-1，1]恒成立；命題q：只有一個實數x滿足不等式x2+2

2

ax+11a≤0，
若命題p是假命題，同時命題q是真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題條件，先解出兩個命題為真命題時的等價條件，再根據命題p是假命題，同時命題q是真命題，求a的取值范圍

解答：解：p為真命題時，由|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

≤3∴a2-5a-6≥0，∴a≥6或a≤-1
q為真命題時，△=(2

2

a)2-44a=0∴a=0或a=

11

2

由p假q真，∴

-1＜a＜6 a=0或a= 11 2

∴a=0或a=

11

2

點評：本題必要條件、充分條件與充要條件的判斷與應用，求解本題關鍵是對p條件中恒成立問題的正確轉化以及q條件中只有一個實數滿足不等式這個存在性問題的正確理解與轉化．此兩點也是本題的易錯點，厘清邏輯關系很重要．