Question

已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數(shù)m、n，使=m+n，且m+n=1．

Answer 1

A、B、C 三點共線的一個充要條件是存在 實數(shù)λ，使得=λ．很顯然，題設(shè)條件中向量表達(dá)式并未涉及、，對此，我們不妨利用=＋來轉(zhuǎn)化，以便進(jìn)一步分析求證．
證明 充分性，由=m＋n， m＋n=1， 得
＋=m＋n（＋）
=（m＋n）＋n=＋n，
∴=n．
∴A、B、C三點共線．
必要性:由A、B、C 三點共線知，存在常數(shù)λ，使得=λ，   
即   +=λ（+）．
=（λ－1）＋λ=（1－λ）＋λ，
m=1－λ，n=λ，m＋n=1，
=m＋n．