Question

已知α∈[0，

π

4

]，β∈[0，

π

4

]且sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，4tan

α

2

=1-tan2

α

2

，求α+β的值．

Answer 1

分析：第一個等式中將sin（2α+β）變形為sin[（α+β）+α]，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，第二個等式變形后利用二倍角的正切函數公式化簡，求出tanα的值，進而求出tan（α+β）的值，根據α與β的范圍求出α+β的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出α+β的度數．

解答：解：∵sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，即tan（α+β）=2tanα，
∵4tan

α

2

=1-tan²

α

2

，
∴

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

1

2

，即tanα=

1

2

，
∴tan（α+β）=2tanα=1，
∵α∈[0，

π

4

]，β∈[0，

π

4

]，
∴α+β∈[0，

π

2

]，
則α+β=

π

4

．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，半角的三角函數，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．