Question

（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式（lgx）²-lgx-2＞0；
（Ⅱ）若不等式（lgx）²-（2+m）lgx+m-1＞0對(duì)于|m|≤1恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）把lgx看作一個(gè)整體（未知數(shù)），此不等式是關(guān)于lgx的一元二次不等式，先解出lgx的取值范圍，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出x的取值范圍；
（II）設(shè)y=lgx，則原不等式可化為y²-（2+m）y+m-1＞0，y²-2y-my+m-1＞0．即（1-y）m+（y²-2y-1）＞0．當(dāng)y=1時(shí)，不等式不成立．設(shè)f（m）=（1-y）m+（y²-2y-1），則f（x）是m的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可解出．
解答：解：（Ⅰ）∵（lgx）²-lgx-2＞0，
∴（lgx+1）（lgx-2）＞0．
∴l(xiāng)gx＜-1或lgx＞2．
∴．
（Ⅱ）設(shè)y=lgx，則原不等式可化為y²-（2+m）y+m-1＞0，∴y²-2y-my+m-1＞0．
∴（1-y）m+（y²-2y-1）＞0．
當(dāng)y=1時(shí)，不等式不成立．
設(shè)f（m）=（1-y）m+（y²-2y-1），則f（x）是m的一次函數(shù)，且一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù)．
當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，若要
．
∴l(xiāng)gx＜-1或lgx＞3．
∴或x＞10³．
∴x的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、一元二次不等式的解法、一次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．