Question

【題目】如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，，，是的三等分點，是的中點.分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，，分別為，的中點.

（1）證明：平面.

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

(1)先證，再證，由可得平面 ，從而推出平面 ；(2) 建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與，坐標代入線面角的正弦值公式即可得解.

（1）證明：連接，，由圖1知，四邊形為菱形，且，

所以是正三角形，從而.

同理可證，，

所以平面.

又，所以平面，

因為平面，

所以平面平面.

易知，且為的中點，所以，

所以平面.

（2）解：由（1）可知，，且四邊形為正方形.設的中點為，

以為原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，

所以，，.

設平面的法向量為，

由得

取.

設直線與平面所成的角為，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.