Question

假設你已經學習過指數函數的基本性質和反函數的概念，但還沒有學習過對數的相關概念．由指數函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在實數集R上是單調函數，可知指數函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）存在反函數y=f^-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據上述假設和已知，在不涉及對數的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數x₁，x₂，都有f^-1（x₁x₂）=；
（2）函數y=f^-1（x）是單調函數．

Answer 1

證明：（1）設，，
由題意，有，，
∴，
∴，即f^-1（x₁x₂）=f^-1（x₁）+f^-1（x₂）．
（2）當a＞1時，y=f^-1（x）是增函數．
證明：設x₁＞x₂＞0，即，
又由指數函數y=a^x（a＞1）是增函數，得y₁＞y₂，即．
∴當a＞1時，y=f^-1（x）是增函數．
同理，當0＜a＜1時，y=log_ax是減函數．
分析：（1）利用指數函數的性質和反函數的定義即可證明；
（2）對底數a分a＞1與0＜a＜1討論，利用指數函數的單調性即可證明．
點評：熟練掌握指數函數的單調性和反函數的定義是解題的關鍵．