Question

設為數列的前項和，對任意的，都有(為正常數)．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）數列滿足求數列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和．

Answer 1

(1)證明詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用求出與的關系，判斷數列是等差數列，從而寫出等差數列的通項公式；（2）因為，所以可以證明是首項為，公差為1的等差數列，先求出的通項公式，再求；（3）把第（2）問的代入，利用錯位相減法求.
試題解析：（1）證明：當時，，解得．     1分
當時，．即．    2分
又為常數，且，∴．
∴數列是首項為1，公比為的等比數列．              3分
（2）解：．          4分
∵，∴，即．    5分
∴是首項為，公差為1的等差數列．         6分
∴，即．    7分
（3）解：由（2）知，則                                                           
所以            8分
當為偶數時，

令                 ①
則  ②
①-②得  
=
==
                               10分
令                ③
  ④
③-④得
= 
==
                                          11分

12分
當為奇數時， 為偶數,

=
                            14分
法二：           ① 
 ②
9分
①-②得：                                             
                                                                         10分                                    
=                        12分
=
         13分
∴                                           14分