Question

已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3

3

，且

AB

•

BC

=6，

AB

與

BC

的夾角為α．
（1）求α的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（α）=sin²α+2sinαcosα+3cos²α，求f（α）的最小值，并指出取得最小值時的α．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積的定義及三角形的面積公式，求出tanα的范圍，從而求出α的取值范圍．
（2）由二倍角的三角函數(shù)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把f（α）化為2+

2

sin（2α+

π

4

），由α的范圍得到2α+

π

4

的范圍，進而得到2+

2

sin（2α+

π

4

）的最小值．

解答：解：（1）由題意知

AB

•

BC

=6=|

AB

|•|

BC

|cosα  ①，
S=

1

2

|

AB

|•|

BC

|sin（π-α）=

1

2

|

AB

|•|

BC

|sinα  ②，
由②÷①得

s

6

=

1

2

tanα，即3tanα=S，由3≤S≤3

3

，得3≤3tanα≤3

3

，即 1≤tanα≤

3

，
又α為

AB

與

BC

的夾角，∴α∈〔0，π〕∴α∈[

π

4

，

π

3

]．
（2）f（α）=sin²α+2sinαcos+3cos²α=1+sin2α+2cos²α?
∴f（α）=2+sin2α+cos2α=2+

2

sin（2α+

π

4

），
∵α∈〔

π

4

，

π

3

〕，∴2α+

π

4

∈〔

3π

4

，

11π

12

〕，
∴當(dāng) 2α+

π

4

=

11π

12

，即α=

π

3

時，f（α）min=

3+ 3

2

．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角的三角公式的應(yīng)用以及由角的范圍確定三角函數(shù)值的范圍的方法．