Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做．則按所做的第一題評閱計分）
A．（選修4-4坐標系與參數方程） 已知圓C的圓心為（6，

π

2

），半徑為5，直線θ=a(

π

2

≤θ＜π，ρ∈R)被圓截得的弦長為8，則a=

 

．
B．（選修4-5 不等式選講）如果關于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則實數a的取值范圍是

 

；
C．（選修4-1 幾何證明選講），AB為圓O的直徑，弦AC．BD交于點P，若AB=3，CD=1，則sin∠APD=

 

．

Answer 1

分析：A  把方程化為直角坐標方程，由弦長公式求得圓心到直線的距離d，再由點到直線的距離公式求得tana，從而求得a．
B 由于|x-3|-|x-4|的最小值等于-1，不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則-1＜a．
C 由△PAB∽△PDC，可得  

1

3

=

PD

PA

，由PD⊥AD 可得，cos∠APD=

PD

PA

=

1

3

，利用同角三角函數的基本關系求得sin∠APD的值．

解答：解：A  由題意得 圓C的圓心為（0，6），圓C的方程為 x²+（y-6）²=25，
直線θ=a(

π

2

≤θ＜π，ρ∈R) 即  y=tana•x，tana•x-y=0．
設圓心到直線的距離等于d，由弦長公式得 8=2

r2-d2

=2

25-d2

，∴d=3，
再由點到直線的距離公式得 d=3=

|0-6|

tan2a+1

，∴tana=±

3

．
根據θ范圍知，tana＜0，∴tana=-

3

，a=

2π

3

，故答案為

2π

3

．
B  由于|x-3|-|x-4|表示數軸上的x到3的距離減去它到4的距離，最小值等于-1，
如果關于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則-1＜a，即 a＞-1，故答案為-1．
C  如圖所示：由題意得∠APB=∠DPC，∠PDC=∠PAB，∠PCD=∠PBA，
∴△PAB∽△PDC，∴

CD

AB

=

PD

PA

，

1

3

=

PD

PA

．∵PD⊥AD（直徑對的圓周角等于90°），
∴cos∠APD=

PD

PA

=

1

3

，∴sin∠APD=

2 2

3

，故答案為 

2 2

3

．

點評：本題考查絕對值不等式的性質，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，體現了數形結合的數學思想．