Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，一條準線方程為x=4．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M，設直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得得

c a = 1 2 a2 c =4 a2=b2+c2

，解出即可；
（2）設P（x₀，y₀）（y₀≠0），即可得出直線AP的方程，令x=2，即可得到點M的坐標，利用斜率計算公式即可得出k₁，k₂，再利用點P在橢圓上即可證明．

解答：解：（1）由題意得

c a = 1 2 a2 c =4 a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=3

，∴橢圓E的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設P（x₀，y₀）（y₀≠0），
則直線AP的方程為：y=

y0

x0+2

（x+2）
令x=2得M（2，

4y0

x0+2

）
∴k₁=

2y0

x0+2

，
∵k₂=

y0

x0-2

，
∴k₁k₂=

2 y 2 0

x 2 0 -4

，
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，∴

x02

4

+

y02

3

=1
∴k₁k₂═-

3

2

為定值．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線的斜率公式等是解題的關鍵．