Question

已知函數f（x）=a^x，（a＞0且a≠1）的反函數是y=g（x）．
（1）求函數y=g（x）的表達式；
（2）對于函數y=g（x），當x∈[2，8]時，最大值與最小值的差是2，求a的值；
（3）在（2）的條件下，當x∈[0，3]時，求函數y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先令y=f（x）=a^x，用y表示出x，再交換x，y的位置，即可得出反函數
（2）對a進行分類討論，再根據對數函數的單調性，可得函數log_ax在[2，8]上的單調性，進而可得其最大最小值，相差可得a，從而求出答案．
（3）根據指數函數的單調性，可得函數y=a^x在[0，3]上是增函數，進而可得其最大最小值，相加可得答案．

解答：解：（1）令y=f（x）=a^x，
由有x=log_ay
故函數的反函數的解析式是y=log_ax，（x＞0）
（2）當a＞1時．函數y=log_ax在[2，8]上是增函數，
所以最大值為log_a8，最小值為log_a2，
最大值與最小值的差是2，
∴log_a8-log_a2=2，解得：a=2；
當0＜a＜1時．函數y=log_ax在[2，8]上是減函數，
所以最大值為log_a2，最小值為log_a8，
最大值與最小值的差是2，
∴log_a2-log_a8=2，解得：a=

1

2

；
綜上所述，a的值2或

1

2

；
（3）當a=2時，函數y=2^x在[0，3]上是增函數，函數y=f（x）的值域為：[1，8]；
當a=

1

2

時，函數y=

1

2

^x在[0，3]上是增函數，函數y=f（x）的值域為：[

1

8

，1]；

點評：本題考查反函數、對數函數的值域與最值．在處理指數函數和對數函數問題時，若對數未知，一般情況下要對底數進行分類討論，分為0＜a＜1，a＞1兩種情況，然后在每種情況對問題進行解答，然后再將結論綜合，得到最終的結果