Question

已知拋物線的方程為，直線的方程為，點關于直線的對稱點在拋物線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知，求過點及拋物線與軸兩個交點的圓的方程；
（3）已知，點是拋物線的焦點，是拋物線上的動點，求的最小值及此時點的坐標；

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）求出點關于直線的對稱點的坐標，然后將對稱點的坐標代入拋物線的方程求出的值，從而確定拋物線的方程；（2）先確定拋物線與軸的兩個交點、，結合圖形確定為直角三角形，并確定相應的斜邊，以此求出圓心和半徑，最終確定圓的方程；（3）結合圖象與拋物線的定義確定點、、三點共線求出的最小值，并確定的直線方程，將直線方程與拋物線方程聯立求出點的坐標.
（1）設點關于直線的對稱點為坐標為，
則解得，
把點代入，解得，
所以拋物線的方程為；
（2）令得，
設拋物線與軸的兩個交點從左到右分別為、，則C、，
顯然是直角三角形，所以為所求圓的直徑，由此可得圓心坐標為，
圓的半徑，
故所求圓的方程為；
（3）是拋物線的焦點，拋物線的頂點為，
拋物線的準線為，
過點作準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知,
，當且僅當、、三點共線時“”成立，
即當點為過點所作的拋物線準線的垂線與拋物線的交點時，取最小值，

，這時點的坐標為；