Question

某校課外興趣小組的學生為了給學校邊的一口被污染的池塘治污，他們通過實驗后決定在池塘中投放一種能與水中的污染物質發生化學反應的藥劑．已知每投放個單位的藥劑，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（天）變化的函數關系式近似為，其中若多次投放，則某一時刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和．根據經驗，當水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時，它才能起到有效治污的作用．
(Ⅰ)若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污時間可達幾天？
(Ⅱ)若第一次投放2個單位的藥劑，6天后再投放個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續有效治污，試求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）有效治污的時間可達8天； （Ⅱ）的最小值為1

試題分析：（Ⅰ）先由可得在水中釋放的濃度再分別分段求出水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時的天數，從而得出有效治污的時間可達8天；  
（Ⅱ）先得出模型當時，，然后由基本不等式知，再由，解得，即的最小值為1 .
試題解析：（I）∵  ∴．                  2分
當時，由，解得，此時；
當時，由，解得，此時．        4分
綜上，得．故若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污的時間可達8天．6分
（II）當時，，9分
又 ，  ，則．
當且僅當，即時取等號.
令，解得 ，故所求的最小值為1 ．             14分