Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過左焦點F且垂直于x軸的弦長為1．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）點P（m，0）為橢圓C的長軸上的一個動點，過點P且斜率為 的直線l交橢圓C于A，B兩點，問：|PA|2+|PB|2是否為定值？若是，求出這個定值并證明，否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（ I）由過左焦點F且垂直于x軸的弦長為1，

可知橢圓C過點 ，∴ ，

又∵e= = ，a2=b2+c2；

三式聯(lián)立解得 ，

∴橢圓的方程為 +y2=1；

（ II）設(shè)P（m，0）（且﹣2≤m≤2），由已知，直線l的方程是y= （x﹣m），

由 ，消去y得，2x2﹣2mx+m2﹣4=0，（*）

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程（*）的兩個根，

所以有，x1+x2=m，x1x2= ，

所以，|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22

=（x1﹣m）2+ （x1﹣m）2+（x2﹣m）2+ （x2﹣m）2

= [（x1﹣m）2+（x2﹣m）2]

= [x12+x22﹣2m（x1+x2）+2m2]

= [（x1+x2）2﹣2m（x1+x2）﹣2x1x2+2m2]

= [m2﹣2m2﹣（m2﹣4）+2m2]=5（為定值）；

所以，|PA|2+|PB|2為定值

【解析】（Ⅰ）利用橢圓長軸長設(shè)出橢圓方程，利用點在橢圓上，求出b，即可得到橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)出P，直線l的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)出A、B坐標，通過根與系數(shù)的關(guān)系，計算|PA|2+|PB|2，化簡求解即可．