Question

已知⊙C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同交點A、B；
（2）求弦AB中點M軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線？
（3）若定點P（1，1）分弦AB為，求l方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓心到直線的距離小于半徑，判定，直線l與圓C總有兩個不同交點A、B；
（2）設出弦AB中點M，求出直線L，利用弦的中點與圓心連線與割線垂直，求出軌跡方程．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立方程利用韋達定理，以及定點P（1，1）分弦AB為，求出A 的坐標，代入圓的方程，求出m，即可求l方程．
解答：解：（1）圓心C（0，1），半徑r=，則圓心到直線L的距離d=，
∴d＜r，∴對m∈R直線L與圓C總頭兩個不同的交點；（或用直線恒過一個定點，且這個定點在圓內）（4分）
（2）設中點M（x，y），因為L：m（x-1）-（y-1）=0恒過定點P（1，1）
斜率存在時則，又，k_AB•K_NC=-1，
∴，整理得；x²+y²-x-2y+1=0，
即：=，表示圓心坐標是（），半徑是的圓；
斜率不存在時，也滿足題意，
所以：=，表示圓心坐標是（），半徑是的圓．（4分）
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）解方程組
得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
∴，①
又
∴（x₂-1，y₂-1）=2（1-x₁，1-y₁），
即：2x₁+x₂=3②
聯立①②解得，則，即A（）
將A點的坐標代入圓的方程得：m=±1，
∴直線方程為x-y=0和x+y-2=0
點評：本題考查點到直線的距離公式，直線的一般式方程，軌跡方程，直線和圓的方程的應用，考查轉化思想，考查分析問題解決問題的能力，計算能力，是中檔題．