Question

（附加題）已知圓O：x²+y²=4與x軸正半軸交于點(diǎn)A，在圓上另取兩點(diǎn)B，C，使∠BAC=

π

4

，平面上點(diǎn)G滿足

GA

+

GB

+

GC

=

0

，求點(diǎn)G的軌跡方程．

Answer 1

分析：解法1：由

GA

+

GB

+

GC

=

0

，知點(diǎn)G即△ABC的重心，圓O：x²+y²=4與x軸正半軸交于點(diǎn)A，易知A（2，0）因?yàn)锽、C在圓x²+y²=4上，故設(shè)點(diǎn)B（2cosθ，2sinθ）．
由重心坐標(biāo)公式得軌跡的參數(shù)方程，化為普通方程即得點(diǎn)P的軌跡方程．
解法2：由坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法同理求得點(diǎn)G的軌跡方程為：(x-

2

3

)2+y2=

8

9

根據(jù)

GA

+

GB

=2

GO

，以 |

MC

|=|

MA

|，分別得到解析式，聯(lián)立即可求出頂點(diǎn)C的軌跡E的方程．

解答：解：法1：由

GA

+

GB

+

GC

=

0

，知點(diǎn)G即△ABC的重心，
圓O：x²+y²=4與x軸正半軸交于點(diǎn)A，
易知A（2，0）因?yàn)锽、C在圓x²+y²=4上，故設(shè)點(diǎn)B（2cosθ，2sinθ）．
由∠BAC=

π

4

，則∠B0C=

π

2

，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2cos(θ+

π

2

)，2sin(θ+

π

2

))，
由重心坐標(biāo)公式得軌跡的參數(shù)方程：

x= 1 3 (2+2cosθ+2cos(θ+ π 2 )) y= 1 3 (2sinθ+2sin(θ+ π 2 ))

（θ為參數(shù)）
即

x= 1 3 (2+2cosθ-2sinθ) y= 1 3 (2sinθ+2cosθ)

化為普通方程是：(x-

2

3

)2+y2=

8

9

，軌跡為以點(diǎn)(

2

3

，0)為圓心，

2 2

3

為半徑的圓．
法2：由∠BAC=

π

4

，則∠B0C=

π

2

，設(shè)BC的中點(diǎn)為P，易求得OP=

2

．
故點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=2，
連接AP，因?yàn)辄c(diǎn)G為△ABC的重心，所以點(diǎn)G為AP的一個(gè)三等分點(diǎn)．
由坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法同理求得點(diǎn)G的軌跡方程為：(x-

2

3

)2+y2=

8

9

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，平面向量與共線向量，向量坐標(biāo)的運(yùn)算，以及求點(diǎn)的軌跡方程．通過運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理，方便地求出坐標(biāo)的關(guān)系，考查了對知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，屬于中檔題．