Question

已知數列{a_n}的前n項和為s_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數列b_n滿足b_n=log₂（a_n+2），T_n為數列{

bn

an+2

}的前n項和，求T_n
（3）（只理科作）接（2）中的T_n，求證：T_n≥

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由S_n與a_n的關系S_n=2a_n-2n利用仿寫的方法消去S_n^得到a_n+2=2（a_n-1+2），再利用等比數列的定義求出a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）由（1）得數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ⁺¹-2所以b_n=n+1∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

利用錯位相減可得∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．
（3）利用Tn-Tn-1=-

n+3

2n+1

+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0證明T_n是遞增數列，求其最小值即可．

解答：解：（1）當n∈N₊時，S_n=2a_n-2n，
則當n≥2，n∈N₊時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）
         ①-②，a_n=2a_n-2a_n-1-2，a_n=2a_n-1+2
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴

an+2

an-1+2

=2，n=1時   S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴{a_n+2}是a₁+2=4為首項2為公比的等比數列，
∴a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2
（2）證明b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
則Tn=

2

22

+

3

23

 +…+

n+1

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

④
③-④，

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

- 

n+1

2n+1

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

- 

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．
（3）n≥2時Tn-Tn-1=-

n+3

2n+1

+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0，
∴{T_n}為遞增數列
∴Tn的最小值是T1=

1

2

∴Tn≥

1

2

點評：本題考查S_n與a_n以及錯位相減法的運用，求通項與求和是高考的熱點，數列與不等式相結合的綜合題也是常考內容，此類問題多與數列的單調性相關．