Question

（2012•大連模擬）已知A、B、C是△ABC的三個內角，且滿足2sinB=sinA+sinC，設B的最大值為B₀．
（Ⅰ）求B₀的大小；
（Ⅱ）當B=

3B0

4

時，求cosA-cosC的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式得到2b=a+c，表示出b，再利用余弦定理表示出cosB，將表示出的b代入，整理后，利用基本不等式可得出cosB的最小值，根據余弦函數在（0，π）上單調遞減，利用特殊角的三角函數值即可求出B的最大值；
（Ⅱ）設所求的式子為x，記作①，由B與B₀的關系及B₀的度數，求出B的度數，代入已知的等式sinA+sinC=2sinB中，得到sinA+sinC的關系式，記作②，由①²+②²化簡后，根據B的度數，求出A+C的度數，代入化簡后的式子中，得到關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為所求式子的值．

解答：解：（Ⅰ）由2sinB=sinA+sinC，利用正弦定理化簡得：2b=a+c，即b=

a+c

2

，
由余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

（2分）
=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

3(2ac)-2ac

8ac

=

1

2

，（4分）
∵y=cosx在（0，π）上單調遞減，
則B的最大值為B₀=

π

3

；（6分）
（Ⅱ）設cosA-cosC=x，①（8分）
∵B=

3B0

4

=

π

4

，
∴sinA+sinC=2sinB=

2

，②
由①²+②²得，2-2cos（A+C）=x²+2．（10分）
又A+C=π-B=

3π

4

，
∴x=±

4	2

，即cosA-cosC=±

4	2

．（12分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式，余弦函數的單調性，誘導公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．