Question

已知函數．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

解析:

（1）求函數的導數；．

曲線在點處的切線方程為：，

       即    ．

（2）如果有一條切線過點，則存在，使．

于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程

有三個相異的實數根．

記    ，則    ．

當變化時，變化情況如下表：

		0
		0		0
	極大值		極小值

由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根；

當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根；

當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根．

綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數根，則

即    ．