Question

已知各項均為正數的兩個數列{a_n}，{b_n}，由下表給出：

n	1	2	3	4	5
an	1	5	3	1	2
bn	1	6	2	x	y

定義數列{c_n}：c1=0，cn=

bn，cn-1＞an cn-1-an+bn，cn-1≤an

(n=2，3，4，5)，并規定數列{a_n}，{b_n}的“并和”為S_ab=a₁+a₂+…+a₅+c₅，若S_ab=15，則y的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由已知中c1=0，cn=

bn，cn-1＞an cn-1-an+bn，cn-1≤an

(n=2，3，4，5)，可以得到：x＞3時，c₅=y；x≤3時，c₅=x+y-3，結合S_ab=a₁+a₂+…+a₅+c₅=15，可得c₅=3，進而得到y的最小值．

解答：解：∵c1=0，cn=

bn，cn-1＞an cn-1-an+bn，cn-1≤an

(n=2，3，4，5)
由a₂=5，c₁＜a₂，故c₂=c₁-a₂+b₂=0-5+6=1；
由a₃=3，c₂＜a₃，故c₃=c₂-a₃+b₃=1-3+2=0；
由a₄=1，c₃＜a₄，故c₄=c₃-a₄+b₄=0-1+x=x-1；
由a₅=2，
若c₄＞a₅，即x-1＞2，即x＞3時，c₅=b₅=y
若c₄≤a₅，即x-1≤2，即x≤3時，c₅=c₄-a₅+b₅=x-1-2+y=x+y-3
∵S_ab=a₁+a₂+…+a₅+c₅=15+c₅=12
故c₅=3
若x＞3，即y=3
若x≤3，即x+y-3=3，此時y=6-x≥3
綜上y的最小值為3
故答案為：3

點評：本題考查的知識點是數列的遞推公式，不等式的基本性質，其中根據得到x＞3時，c₅=y；x≤3時，c₅=x+y-3，是解答的關鍵．