Question

 (本題滿分16分)
已知圓，點，直線.
⑴求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；
⑵在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數，試求所有滿足條件的點的坐標.

Answer 1

（1）直線方程為
（2）存在點對于圓上任一點，都有為常數。

解：⑴設所求直線方程為，即，
直線與圓相切，∴，得，
∴所求直線方程為                -----------5分
⑵方法1：假設存在這樣的點，
當為圓與軸左交點時，；
當為圓與軸右交點時，，
依題意，，解得，（舍去），或。  -----------------8分
下面證明 點對于圓上任一點，都有為一常數。
設，則， 
∴，
從而為常數。                                     -------------15分
方法2：假設存在這樣的點，使得為常數，則，
∴，將代入得，
，即
對恒成立，         ----------------8分
∴，解得或（舍去），
所以存在點對于圓上任一點，都有為常數。  ------------15分