Question

【題目】已知盒子中裝有紅色、藍色紙牌各100張，每種顏色紙牌均含標數為的紙牌各一張，兩種顏色紙牌的標數總和記為.

對于給定的正整數，若能從盒子中取出若干張紙牌，使其標數之和恰為，則稱其為一種取牌“n—方案”.記不同的n—方案種數為.試求的值.

Answer 1

【答案】

【解析】

將盒子中的紙牌按標數從小到大的順序排成一列值相等的兩項不同色，對于每個，數列前項之和小于，故形如的項必從兩個中選出（任何其他項的和不等于），于是，選出一個有兩種方法，同時選出兩個只有一種方法.

對于集合中的每個數，可將其表示為含有一百個數位的三進制形式，

即，其中，.

若在中恰有個為1（其余的個數為0或2），則（這是因為每個1有紅、藍兩種選取方案）.

現將集合分解為,

其中，集合中的每個數在表示成上述三進制形式后，其系數恰有個為1（其余的個數為0或2），因此，集合中共有個數（這是因為從中選取個為1，有種選法，其余的個數每個可取作0或2，有種方法）.

這樣，集合中各數的值之和為

.

由于集合兩兩不相交，從而， .

注意到，，即數列中的每個數均不選，其方案數，故.