Question

為了對某校高三（1）班9月調考成績進行分析，在全班同學中隨機抽出5位，他們的數學分數（已折算為百分制）從小到大排列為75、80、85、90、95，物理分數從小到大排列為 73、77、80、87、88．
（I）求這5位同學中恰有2位同學的數學和物理分數都不小于85分的概率；
（II）若這5位同學的數學、物理、化學分數事實上對應如下表：
從散點圖分析，y與x，z與x之間都有較好的線性相關關系，分別求y與x，z與x的線性回歸方程，并用相關指數比較所求回歸模型的擬合效果．
參考數據：，²=250，，，，．

Answer 1

【答案】分析：（I）先則需要先從數學的3個不小于85分數中選出2個與2個物理不小于85分數對應的種數，然后將剩下的3個數學分數和物理分數任意對應的種數，最后根據乘法原理問題得解；
（II）根據最小二乘法計算可得回歸方程中的b和a，回歸直線方程即得，通過相關指數R²的計算可以得到回歸方程的擬合程度．
解答：解：（I）這5位同學中恰有2位同學的數學和物理分數均為不小于85分，
則需要先從數學的3個不小于85分數中選出2個與2個物理不小于85分數對應，
種數是C₃²A₂²（或A₃²），然后將剩下的3個數學分數和物理分數任意對應，種數是A₃³．
據乘法原理，滿足條件的種數是C₃²A₂²A₃³． （2分）
這5位同學的物理分數和數學分數分別對應的種數共有A₅⁵． （5分）
故所求的概率． （4分）
（II）設y與x、z與x的線性回歸方程分別是、．
根據所給的數據，可以計算出，．（8分）
所以y與x和z與x的回歸方程分別是、．（11分）
∴（yi-i）²=0²+0²+（-1）²+2²+（-1）²=6，
∴（zi-i）²=（-2）²+2²+1²+0²+（-1）²=10，
又y與x、z與x的相關指數是、． （11分）
故回歸模型比回歸模型的擬合的效果好．（12分）]
點評：本題考查組合及運算、概率、相關系數的運算、回歸直線方程的求法和回歸模型的擬合效果判斷等多方面知識和方法．本題綜合性強，所用知識、方法眾多，將回歸分析的相關知識的考查發揮到了極致，盡管已知中提供了大量的數據，但計算量仍然很大，如相關系數、相關指數的計算、最小二乘法的使用等等，這會使計算過程容易出錯；就本題的題意而言，思路清晰、方向明確，找到解題的途徑并不難．