Question

（本小題滿分14分）

已知函數對任意實數均有，其中常數為負數，且在區間上有表達式.

（1）求，的值；

（2）寫出在上的表達式，并討論函數在上的單調性；

（3）求出在上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值.

 

Answer 1

【答案】

（1），

 

（2）

 

在與上為增函數，在上為減函數；

（3）①而在處取得最小值，在處取得最大值．

②時，在與處取得最小值，在與處取得最大值．

③時，在處取得最小值，在處取得最大值．

【解析】本題主要考查了函數的基本性質，考查了分類討論、函數與方程、數形結合數學思想方法，考查轉化與化歸的能力、邏輯推理能力。

（1），

．

（2）對任意實數，

．

當時，；

當時，．

故

在與上為增函數，在上為減函數；

（3）由函數在上的單調性可知，

在或處取得最小值或，而在或處取得最大值或．

故有

①而在處取得最小值，在處取得最大值．

②時，在與處取得最小值，在與處取得最大值．

③時，在處取得最小值，在處取得最大值．

點評：函數基本性質的考查是高考熱點問題之一，從近幾年的高考看，函數問題是高考中的重點考查內容之一，分值近40分左右，主要是考查函數解析式、定義域、值域（最值、參數取值范圍）、函數的圖象、單調性、奇偶性等性質，考查的函數也是常見的二次函數、指數對數函數為主，但會將這幾種函數結合起來、將抽象函數與具體函數結合起來的趨勢，這種命題的趨勢在今后幾年內繼續保持。