Question

（2012•臺州模擬）已知x＞0，y＞0，且x+y+

9

x

+

1

y

=10，則x+y的最大值為

8

．

Answer 1

分析：由已知可得

9

x

+

1

y

=10-(x+y)，代入（x+y）（

1

x

+

9

y

）=10+

9y

x

+

x

y

≥10+2

9y x • x y

=16可得關于x+y的不等式，解不等式可求x+y的范圍，即可求解

解答：解：∵x＞0，y＞0，x+y+

9

x

+

1

y

=10
∴

9

x

+

1

y

=10-(x+y)
∵（x+y）（

1

x

+

9

y

）=10+

9y

x

+

x

y

≥10+2

9y x • x y

=16
∴（x+y）[10-（x+y）]=-（x+y）²+10（x+y）≥16
即（x+y）²-10（x+y）+16≤0
∴2≤x+y≤8
即x+y的最大值為8
故答案為：8

點評：本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應用，二次不等式的求解，解題的關鍵是兩者的靈活結合