Question

若函數f（x）為奇函數，當x≥0時，f（x）=2x²-4x（如圖）．
（1）求函數f（x）的表達式，并補齊函數f（x）的圖象；
（2）用定義證明：函數y=f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 任取x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），由f（x）為奇函數和已知條件，求得f（x）=-f（x）的解析式，從而得到在R上的解析式，作出函數圖象．
（Ⅱ）任取1≤x₁＜x₂，證得f（x₁）-f（x₂）=（2x12-4x₁）-（2x22-4x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得函數 y=f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增．

解答：解：（Ⅰ） 任取x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
由f（x）為奇函數，
則f（x）=-f（x）=-[2（-x）²-4（-x）]=-2x²-4x．…（1分）
綜上所述，f（x）=

2x2-4x ， x≥0 -2x2-4x ，x＜0

．…（2分）
如圖所示：（4分）
（Ⅱ）任取1≤x₁＜x₂，…（5分）
則f（x₁）-f（x₂）=（2x12-4x₁）-（2x22-4x₂） …（6分）
=2（x12-x22）-4（x₁-x₂）=2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]．…（7分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂ ＞2，∴（x₁+x₂）-2＞0，
∴2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴函數 y=f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增．…（8分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性的判斷和證明，作函數的圖象，屬于中檔題．