Question

過雙曲線2x²-y²=2的右焦點F的直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線有

 

條．

Answer 1

分析：根據題意，求得a、b的值，根據直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①AB只與雙曲線右支相交，②AB與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，可得符合條件的直線的數目，綜合可得答案．

解答：解：將雙曲線化為標準形式可得：x²-

y2

2

=1，則a=1，b=

2

；
若AB只與雙曲線右支相交時，|AB|的最小距離是通徑，長度為

2b2

a

=4，
此時只有一條直線符合條件；
若AB與雙曲線的兩支都相交時，此時|AB|的最小距離是實軸兩頂點的距離，長度為2a=2，距離無最大值，
結合雙曲線的對稱性，可得此時有2條直線符合條件；
綜合可得，有3條直線符合條件；
故答案為3．

點評：本題考查直線與雙曲線的關系，解題時可以結合雙曲線的幾何性質，分析直線與雙曲線的相交的情況，分析其弦長最小值，從而求解；要避免由弦長公式進行計算．