Question

過曲線C：y=x³上的點P₁（x₁，y₁）作曲線C的切線l₁與曲線C交于點P₂（x₂，y₂），過點P₂作曲線C的切線l₂與曲線C交于點，依此類推，可得到點列：P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），…，已知x₁=1．
（1）求點P₂、P₃的坐標；
（2）求數列{x_n}的通項公式；
（3）記點P_n到直線l_n+1（即直線P_n+1P_n+2）的距離為d_n，求證：

1

d1

+

1

d 2

+…+

1

dn

＞

4

9

．

Answer 1

分析：（1）由題意因為x₁=1，且已知過曲線C：y=x³上的點P₁（x₁，y₁），把點的坐標代入得P₁（1，1），再由題意可以得到P₂，P₃；
（2）由題意及導數的幾何含義及題中P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），…，的產生可以得到數列{x_n}的通項公式；
（3）有（2）知道點P_n的坐標，利用電到直線的距離公式得到點P_n到直線l_n+1（即直線P_n+1P_n+2）的距離為d_n，在有得到式子放縮一下即可．

解答：解：（1）因為x₁=1，且已知過曲線C：y=x³上的點P₁（x₁，y₁），所以得P₁（1，1），再由題意可以得P₂（-2，-8），P₃（4，64）．
（2）曲線C上點P_n（x_n，y_n）處的切線l_n的斜率為kn=y′x=xn=3

x

2 n

，
故得到切線的方程為y-y_n=3x_n²•（x-x_n），
聯立方程

y=x3 y-yn=3 x 2 n •(x-xn) yn= x 3 n

消去y，y_n得：x³-3x_n²•x+2x_n³=0
化簡得：（x-x_n）²•（x+2x_n）=0所以：x=x_n或x=-2x_n，
由x=x_n得到點P_n的坐標（x_n，y_n），由x=-2x_n就得到點P_n+1的坐標（-2x_n，（-2x_n）³）所以：x_n+1=-2x_n故數列{x_n}為首項為1，公比為-2的等比數列所以：x_n=（-2）^n-1
（3）由（2）知：P_n+1（（-2）ⁿ，（-8）ⁿ），P_n+2（（-2）ⁿ⁺¹，（-8）ⁿ⁺¹），
所以直線l_n的方程為：y-(-8)n=

(-8)n-(-8)n+1

(-2)n-(-2)n+1

(x-(-2)n)
化簡得：3•4ⁿx-y-2•（-8）ⁿ=0，dn=

|3•4n•(-2)n-1-(-8)n-1-2•(-8)n|

(3•4n)2+(-1)2

=

27•8n-1

9•42n+1

＜

27•8n-1

3•22n

=9•2n-3
所以

1

dn

＞

1

9

•(

1

2

)n-3
∴

1

d1

+

1

d2

++

1

dn

＞

8

9

(1-

1

2n

)≥

8

9

(1-

1

2

)=

4

9

點評：此題考查了學生對于題意的準確理解，還考查了利用導數的幾何意義求曲線上一點的切線的斜率及利用點斜式求出直線的方程，還考查了一元三次方程的求解及證明不等式時的恰當放縮．