Question

在三棱錐中，和是邊長為的等邊三角形，，分別是的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】本題主要考查直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定和三棱錐的體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．

（1）欲證OD∥平面PAC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證OD與平面PAC內一直線平行，而OD∥PA，PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC，滿足定理條件；

（2）欲證平面PAB⊥平面ABC，根據面面垂直的判定定理可知在平面PAB內一直線與平面ABC垂直，而根據題意可得PO⊥平面ABC；

（3）根據OP垂直平面ABC得到OP為三棱錐P-ABC的高，根據三棱錐的體積公式可求出三棱錐P-ABC的體積．

解：（Ⅰ）分別為的中點，

∥

又平面，平面

∥平面. ………………5分

（Ⅱ）連結，

，為中點，,

 ⊥，.

同理, ⊥，.

又,,

，⊥.

⊥,⊥,,

⊥平面.

又平面，平面⊥平面.…………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知垂直平面

為三棱錐的高，且

. …………………………14分