Question

某港口水的深度 y（米）是時間t（0≤t≤24，單位：時）的函數，記作y=f（t），下面是某日水深的數據：

t（時）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0

經長期觀察，y=f（t）的曲線可以近似地看成函數y=Asinωt+b的圖象．
（Ⅰ）試根據以上數據，求出函數y=f（t）的近似表達式；
（Ⅱ）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5米或5米以上時認為是安全的（船舶停靠時，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5米．如果該船希望在同一天內安全進出港，請問，它至多能在港內停留多長時間（忽略進出港所需的時間）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過讀取圖表，可以看出函數y=f（t）的周期，根據水的最大深度和最小深度聯立方程組求出A和b，則函數
y=f（t）的近似表達式可求；
（Ⅱ）由題意得到該船進出港時，水深應不小于5+6.5=11.5（米），由y≥11.5解出一天內水深大于等于11.5的時間段，則船從最早滿足水深到達11.5的時刻入港，從最晚滿足水深是11.5的時刻出港是安全的．

解答：解：（Ⅰ）由已知數據，易知函數y=f（t）的周期T=12，則ω=

2π

12

=

π

6

．
再由

A+b=13 -A+b=7

，得振幅A=3，b=10，
∴y=3sin

πt

6

+10（0≤t≤24）；
（Ⅱ）由題意，該船進出港時，水深應不小于5+6.5=11.5（米）
∴3sin

πt

6

+10≥11.5
∴sin

πt

6

≥

1

2

，解得，2kπ+

π

6

≤

π

6

t≤2kπ+

5π

6

(k∈Z)，所以12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），
在同一天內，取k=0或1，
∴1≤t≤5或13≤t≤17，
∴該船最早能在凌晨1時進港，下午17時出港，在港口內最多停留16個小時．

點評：本題考查了由部分圖象確定函數y=Asin（ωx+φ）的解析式，對于平衡位置不是坐標軸的，給出的最大值不是振幅A，對于（Ⅱ）的求解，應明確題目的問法，屬中檔題．