Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率．以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形的周長為8，面積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點為橢圓上一點，直線的方程為，求證：直線與橢圓有且只有一個交點．

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用題意求得， ，橢圓的方程為．

(2)首先討論當的情況，否則聯立直線與橢圓的方程，結合直線的特點整理可得直線與橢圓有且只有一個交點．

試題解析：（Ⅰ）依題意，設橢圓的方程為，焦距為，

由題設條件知， ， ，

， ，

所以， ，或， （經檢驗不合題意舍去），

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）當時，由，可得，

當， 時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點．

當， 時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點．

當時，直線的方程為，聯立方程組

消去，得．①

由點為曲線上一點，得，可得．

于是方程①可以化簡為，解得，

將代入方程可得，故直線與曲線有且有一個交點，

綜上，直線與曲線有且只有一個交點，且交點為．